We hebben gezien hoe de kwantumgetallen n, l en m_l door de chemici werden gebruikt om de eigenschappen van elementen te vergelijken, door de fysici om lijnenspectra te verklaren. En hoe inventiviteit en intuïtie hierbij een belangrijke rol speelden. Maar ook knip- en plakwerk. Om de puzzelstukken in elkaar te passen.

De golfvergelijking van Erwin Schrödinger (1887 – 1967) verschaft een theoretisch raamwerk waaruit de kwantumgetallen op wiskundige wijze tevoorschijn komen. De vergelijking moest ‘alleen’ maar opgelost worden. Daar kwam heel wat niet zo elementaire wiskunde aan te pas.

Hoe pakte E. Schrödinger dat aan?

We gaan maar een tipje van de sluier oplichten.

Als de golffunctie in poolcoördinaten (r, θ, Ø) wordt uitgedrukt in plaats van in cartesische coördinaten (x, y, z), kan ze worden omgezet in het product van drie functies die elk maar van één coördinaat afhangen:

Er moeten nu drie vergelijkingen onafhankelijk van elkaar worden opgelost.

De wiskunde wordt hierdoor aanzienlijk vereenvoudigd.

Schrödinger komt tot een opmerkelijk resultaat

1. de vergelijking in R(r) heeft maar een oplossing als de constante, die in de oplossing voorkomt, een natuurlijk getal n (n = 1,2,3,…)is.

→ E. Schrödinger heeft het hoofdkwantumgetal n gevonden.

2. Voor P(Θ) geldt iets vergelijkbaars. Er is maar een oplossing voor deze vergelijking als de constante l in de oplossing gelijk is aan 0,1,2… n-1

→ E. Schrödinger heeft het nevenkwantumgetal l gevonden
l = 0,1,2,…n-1

3. Voor F(φ) is dit ook het geval. De constante moet nu waarden hebben gelijk aan – l , -l + 1,  , + l.

→ E. Schrödinger heeft het magnetisch kwantumgetal m_l gevonden
m_l  = – l , -l + 1, …  , + l

Blijft nog het spinkwantumgetal. Daarvoor moeten we wachten tot in 1928 als de Brit Paul A.M. Dirac (1902 – 1984) de speciale relativiteitstheorie van Albert Einstein (1879 – 1955) samenbrengt met de golffunctie van E. Schrödinger. Er ontstaat een nieuwe vergelijking waarvan de oplossingen spectaculair zijn. P. Dirac krijgt er de Nobelprijs voor in 1933.

De spin S komt op natuurlijke wijze tevoorschijn met twee mogelijke waarden, nl. + \(+\frac{1}{2}\frac{h}{2\pi}\) en \(-\frac{1}{2}\frac{h}{2\pi}\) en met spinkwantumgetallen \(m_s = \pm\frac{1}{2}\)

De kwantummechanica verklaart nu alle vier kwantumgetallen!

Maar er komt nog een verrassing. Uit de oplossing van de vergelijking van P. Dirac volgt dat het elektron een positief geladen partner heeft. Het is het positron, het spiegeldeeltje of antideeltje van het elektron. Identiek aan het elektron, behalve de lading, die wel dezelfde is maar positief.

Als positron en elektron elkaar ontmoeten worden ze volledig in stralings-energie omgezet.

Het positron wordt in 1932 door de Amerikaan Carl Anderson waargenomen. Hij krijgt er de Nobelprijs voor in 1936.